对角矩阵的本质，实际上就是个“松散的积木台”。
要是把方阵比作一堆堆叠的乐高块，对角矩阵就是那些方块要么平铺在地面，要么各自站在独立的高台上去，中间没有任何东西把他们连起来，连铁链条子都搭不住。 若要在不同形状的积木台上把方块换过来不动，那得先看清这些积木如何“站”的。具体来说，你得先确认这东西是个方阵，也就是每边数量相等。
然后你得想清楚它是不是对角矩阵，这意味着它要么全铺在桌面上，要么全体站在空中，中间那个“空气层”要么“连接处”务必是空的。
要是是个非对角矩阵，哪怕它是方形的，你得先想办法把那些中间夹着的方块掏空，要么把它们推出去，再谈得上一言半语。 举个例子，你看个好办的三阶对角矩阵，大家伙儿心里有数吧，1 2 3 4 5 6 7 8 9。
你看，主对角线上的三个数字 1 2 3 占着各自的高台，副对角线上的 4 5 6 又是另外三个高台，其余的 7 8 9 就连没着落的。
这时候你要是想找个身份让 1 变成 4，要么 4 变成 1，光靠语言描述是不中的。你得把那个中间的轴线给切掉，要么把 7 8 9 那局部先移到别处去，再谈得上一锤定音。 实际上，数学上的“相似”二字，最通俗的理解就是“能不能玩对”。若两个矩阵是相似的，本质上就是它们能玩一样的游戏，只是换了个队伍。
要是 A 和 B 是相似的，那 B 等于 PAQ，P 和 Q 是特殊的矩阵，它们的功能是弄弯 A，让它变得像 B。
这时候，B 的所有特征值，也就是 B 跟零矩阵的差距，跟 A 跟零矩阵的差距彻底同步。 这里头有个细节，得且慢。你先用 A 跟零矩阵算一次，算出它的特征值，比如是一个 1 2 3 9 0 0 0 0 0 12 的特征值。
这时候你再用 B 试，结局发现它的特征值也是 1 2 3 9 12 0 0 0 0 0。俩玩意儿特征值排列顺序不一样，但这不代表它们不中，只是还没找到对应的 P 和 Q 罢了。
这时候你能够把 A 的 1 挪到 B 的 12 旁边，把 2 挪到 23 旁边，只要保证 B 的矩阵结构能容纳这种变形就行。 然后你再用 A 的 P 去变形 B，用 B 的 Q 去变形 A，看看这两个步骤能不能互相抵消。
要是 A 变 B 后，再变回去变回 A，那就代表 B 和 A 本质上是同一个东西，只是换了个名字。
这时候你再看它们的特征值，要是排成一排，要么按照某种特定顺序排列，那它们就是相似的。 并且，相似矩阵有个特别强的脾气，就是它们的行列式一辈子不变，它们的迹（也就是主对角线所有数字加起来的和）也一辈子一样。
比如有个矩阵 A，主对角线是 1 2 3 4，迹就是 10。另一个矩阵 B 是 1 2 5 4，迹也是 10。
只要迹一样，行列式一样，它们就有希望。 举个例子，看个具体的。设 A 是对角阵 D，主对角线是 1 2 3，迹是 6，行列式是 6。设 B 是一个三阶非对角阵，主对角线是 1 2 3，非对角线有 1 1，加上了 0.5 0.5 0.5 0.5，最终凑出来的迹也是 6，行列式也是 6。
这时候问你，A 和 B 相似吗？还没法定论，得看看能不能把它们匹配上。 假设 P 是单位矩阵加个偏移量，Q 是单位矩阵加个偏移量。你把 A 的 1 变成 0.5，变成 0.5，变成 0.5，变成 0.5。
这时候主对角线变成 0.5 0.5 0.5，非对角线有了。再把 B 的 1 变成 0.5，0.5，0.5，0.5。
这时候主对角线也是 0.5 0.5 0.5。
然后你试着用 P 去转 B，再用 Q 去转回 A，看看能不能回炉重造回去。 要是 P 转 B 后，非对角线变成了 0.5 0.5 0.5，这时候再试着用 Q 去消掉，看看能不能让 B 变回 A。
要是成功，那它们就是相似的。 最终得总结一下，相似就是“形变”。A 和 B 要是相似的，那它们就是同一个家族的成员，只是遗传了相同的身高和体重，只是长相有点不同。它们的特征值、行列式、迹这些核心价值指标，只要一致，就能在数学的舞台上互换位置。若它们特征值不全一样，要么行列式差得十万八千里，那它们就是“亲生的”，但未必能“互换”。 故此啊，判断对角矩阵和另一个矩阵是否相似，核心就是看能不能找到两个特殊的变换矩阵 P 和 Q，把前者变后者，把后者变回来。
只要行通，就是相似的。


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